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増田久弥『関数解析』 抜き書きメモ

はじめに

関数解析は無限次元空間における作用素解析である。ヒルベルト積分方程式の研究に端を発し、20世紀初めにその重要性が認識されノイマンによる量子力学の基礎づけに応用されて急速に発展した学問である。」


第1章ノルム空間

「有限次元空間\mathbb{R}^nを無限次元空間に拡張したらどうなるか。\mathbb{R}^nには、さまざまな特徴があるが、線形空間であること、ノルム(ベクトルの長さ)、2点間の距離が定義されている。さらに、この距離に関して完備であることもよく知られている。この特徴のみに注目してこれらの特徴をもつ無限次元空間に拡張したのが、バナッハ空間である。この章では、バナッハ空間について解説しよう。この着想は、関数を1点の無限次元空間の点とみなしたヴォルテラに始まる。」


第2章ヒルベルト空間

「有限次元空間\mathbb{R}^nには、ノルムの他、内積が定義されている。内積の定義されているバナッハ空間をヒルベルト空間という。この章では、ヒルベルト空間について解説する。内積という概念が入ることにより、直交という概念が定義できて、幾何学的イメージが描きやすい。とくに、(可分な)ヒルベルト空間の場合、正規直交系があって、どんな元もこの正規直交系の一次結合で表されることが示される。\mathbb{R}^nの拡張として自然である。ヒルベルト(ノイマン)によって始められた。」


第3章線形作用素

\mathbb{R}^nには、一次変換すなわち行列が定義されている。\mathbb{R}^nから\mathbb{R}^mへの一次変換はn×m型の行列である。これをバナッハ空間に拡張したものが線形作用素である。この章では線形作用素について解説する。無限次元空間で考えると、さまざまなタイプの作用素が現れる。連続作用素(有界作用素)はその中でも扱いやすい作用素である。しかし、考えている空間全体で定義できないような作用素もある。それを扱うのに閉作用素という概念を導入する。無限次元空間と有限次元空間の差異がでてくるので注意してほしい。」


第4章一様有界性の原理と閉グラフ定理

「無限次元空間における解析で最も深いところのものは、ベールのカテゴリー定理およびそれから導かれる諸結果である。とくに、一様有界性定理、開写像定理、閉グラフ定理は、関数解析学における基本原理ともいえる。この章ではこれらを解説しよう。これらがいかに応用されるかは、次章で明らかになろう。」


第5章線形汎関数とハーン・バナッハの定理

「線形作用素のうちでも、とくに、値をスカラーにもつ作用素は特別な意味をもつ。これを線形汎関数という。これは、ある意味で座標の役割をはたす。ベクトルを完全正規直交系で展開したときの各係数を考えてみればよい。"座標の役割をはたす"ことを示すための基礎がハーン・バナッハの定理である。最も重要な定理の一つである。このような線形汎関数の全体を共役空間という。\mathbb{R}^nにおける行列には、共役行列が定められるが、この共役空間を用いて、それに類似な共役作用素が定義される。これらを本章では解説しよう。」


第6章レゾルベントとスペクトル

\mathbb{R}^nの中の行列には、固有値が定義され、行列の重要な性質を反映する。これと同様に、バナッハ空間の中の作用素Tにも固有値がさだめられ、重要な役割をはたす。しかし、無限次元空間の場合、固有値だけではすまされない場合がしばしばおこる。zI-Tが逆作用素をもたないzを考えると、(そのようなzの全体をスペクトルという)いわゆる固有値だけではすまない。有界な逆作用素をもつ場合、その逆作用素をレゾルベントという。T有界でない場合を考える際、とくに大切である。本章ではこれらを解説する。」


第7章コンパクト作用素

\mathbb{R}^nの中の線形作用素すなわち行列は固有値のみしかもたないが、それによく似た性質をもつ線形作用素にコンパクト作用素がある。任意の有界点列の像から、収束する部分列をとりだせるような線形作用素である。これに対して、行列と同様に、固有値の全体が正規直交系をなし、しかも完全であることが示される。応用として、常微分方程式楕円型偏微分方程式の境界値問題に対する固有値問題がある。」


関数解析 (数学シリーズ)

関数解析 (数学シリーズ)